详解约瑟夫环问题及其相关的C语言算法实现


约瑟夫环问题

N个人围成一圈顺序编号,从1号开始按1、2、3......顺序报数,报p者退出圈外,其余的人再从1、2、3开始报数,报p的人再退出圈外,以此类推。  
请按退出顺序输出每个退出人的原序号 


算法思想
用数学归纳法递推。

无论是用链表实现还是用数组实现都有一个共同点:要模拟整个游戏过程,不仅程序写起来比较烦,而且时间复杂度高达O(nm),若nm非常大,无法在短时间内计算出结果。我们注意到原问题仅仅是要求出最后的胜利者的序号,而不是要读者模拟整个过程。因此如果要追求效率,就要打破常规,实施一点数学策略。

为了讨论方便,先把问题稍微改变一下,并不影响原意:
问题描述:n个人(编号0~(n-1)),从0开始报数,报到(m-1)的退出,剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。

我们知道第一个人(编号一定是m%n-1) 出列之后,剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环(以编号为k=m%n的人开始):
k k+1 k+2 ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2并且从k开始报0。
现在我们把他们的编号做一下转换:

k     --> 0
k+1   --> 1
k+2   --> 2
...
...
k-2   --> n-2
k-1   --> n-1
变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题,假如我们知道这个子问题的解:例如x是最终的胜利者,那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗?!!变回去的公式很简单,相信大家都可以推出来:x'=(x+k)%n

如何知道(n-1)个人报数的问题的解?对,只要知道(n-2)个人的解就行了。(n-2)个人的解呢?当然是先求(n-3)的情况——这显然就是一个倒推问题!好了,思路出来了,下面写递推公式:

令f[i]表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号,最后的结果自然是f[n]

递推公式
f[1]=0;
f[i]=(f[i-1]+m)%i; (i>1)

实现方法


一、循环链表
建立一个有N个元素的循环链表,然后从链表头开始遍历并计数,如果基数i == m,则踢出该元素,继续循环,直到当前元素与下一个元素相同时退出循环

    

#include <stdio.h> 
  #include <stdlib.h> 
  #include <string.h> 
    
  typedef struct lnode 
  { 
    int pos; 
    struct lnode *next; 
  } lnode; 
    
    
  /** 
   * 构建循环链表&&循环遍历 
   */ 
  void create_ring(lnode **root, int loc, int n) 
  { 
    lnode *pre, *current, *new; 
    current = *root; 
    pre = NULL; 
    
    while (current != NULL) { 
      pre = current; 
      current = current->next; 
    } 
    
    new = (lnode *)malloc(sizeof(lnode)); 
    new->pos = loc; 
    new->next = current; 
    
    if (pre == NULL) { 
      *root = new; 
    } else { 
      pre->next = new; 
    } 
    
    // 循环链表 
    if (loc == n) { 
      new->next = *root; 
    } 
  } 
    
  /** 
   * 约瑟夫环 
   */ 
  void kickoff_ring(lnode *head, int p) 
  { 
    int i; 
    lnode *pre, *pcur; 
    pre = pcur = head; 
    
    while (pcur->next != pcur) { 
      for (i = 1; i < p; i ++) { 
        pre = pcur; 
        pcur = pcur->next; 
      } 
    
      printf("%d ", pcur->pos); 
      pre->next = pcur->next; 
      free(pcur); 
      pcur = pre->next; 
    } 
    printf("%d\n", pcur->pos); 
    free(pcur); 
  } 
    
    
  void print_ring(lnode *head) 
  { 
    lnode *cur;  
    cur = head; 
    
    while (cur->next != head) { 
      printf("%d ", cur->pos); 
      cur = cur->next; 
    } 
    printf("%d\n", cur->pos); 
  } 
    
  int main() 
  { 
    int i, p, n; 
    lnode *head; 
    
    while (scanf("%d %d", &n, &p) != EOF) { 
      // 构建循环链表 
      for (i = 1, head = NULL; i <= n; i ++) 
        create_ring(&head, i, n); 
    
      // 约瑟夫环 
      if (p != 1)  
        kickoff_ring(head, p); 
      else 
        print_ring(head); 
    } 
    
    return 0; 
  } 

    /**************************************************************
        Problem: 1188
        User: wangzhengyi
        Language: C
        Result: Accepted
        Time:110 ms
        Memory:912 kb
    ****************************************************************/ 

二、数组模拟
思想跟循环链表类似,少了构建循环链表的过程

   

 #include <stdio.h> 
  #include <stdlib.h> 
   
  int main() 
  { 
    int i, index, p, n, remain, delete[3001], flag[3001] = {0}; 
   
    while (scanf("%d %d", &n, &p) != EOF) { 
      remain = n; 
      index = 0; 
      while (remain >= 1) { 
        for (i = 0; i < n; i ++) { 
          if (flag[i] == 0) { 
            // 报数 
            index ++; 
            // 报p者退出圈外 
            if (index == p) { 
              // 退出圈外 
              flag[i] = 1; 
              // 重新报数 
              index = 0; 
              delete[remain - 1] = i + 1; 
              remain --; 
            }   
          }   
        } 
      } 
   
      // 输出每个退出人的序号 
      for (i = n - 1; i >= 0; i --) { 
        if (i == 0) { 
          printf("%d\n", delete[i]); 
        } else { 
          printf("%d ", delete[i]); 
        } 
      } 
    } 
   
    return 0; 
  } 

    三、数学推导
       

#include <stdio.h> 
   
  int main(void) 
  { 
    int i, n, m, last; 
   
    while (scanf("%d", &n) != EOF && n != 0) { 
      // 接收报数 
      scanf("%d", &m); 
   
      // 约瑟夫环问题 
      for (i = 2, last = 0; i <= n; i ++) { 
        last = (last + m) % i; 
      } 
      printf("%d\n", last + 1); 
    } 
   
    return 0; 
  } 



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